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接する2つの円の相似の中心

任意の円は相似である。

特に,接する2つの円の相似の中心は接点である

特に,2つの円が内接する場合が数学オリンピックで頻出の構図です。

相似の中心の意味があいまいな人は全ての放物線が相似であることの証明参照。

→ 接する2つの円の相似の中心

全ての放物線が相似であることの証明

全ての放物線は互いに相似である。

このページでは「放物線の相似」について解説します。

そもそも,中学数学で相似を習って以来,基本的に三角形の相似ばかり扱ってきたので,「放物線が相似」と言われてもピンと来ない人が多いと思います。そこで,まずは「相似」の定義を確認します。

→ 全ての放物線が相似であることの証明

ケージーの定理とその証明

ケージーの定理

ケージーの定理(Casey’s Theorem):

互いに交わらない4つの円 O1,O2,O3,O4O_1,O_2,O_3,O_4 がそれぞれ点 A,B,C,DA,B,C,D で別の円 OO に(この順番に)内接しているとき,円 iijj の共通外接線の長さを lijl_{ij} とおくと,

l12l34+l14l23=l13l24l_{12}\cdot l_{34}+l_{14}\cdot l_{23}=l_{13}\cdot l_{24}

図は複雑ですが,証明はかなりおもしろいです。数学オリンピックのよい練習問題になっているので猛者は証明に挑戦してみてください。

→ ケージーの定理とその証明