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問題


  1  (2  2  +  3  )+C\dfrac{\boxed{\text{\;1\;}} \, \boxed{\text{あ}}}{\boxed{\text{い}}} \left( 2 \, \boxed{\;2\;} \, \boxed{\text{う}} + \boxed{\;3\;} \, \boxed{\text{え}} \right) + C

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サンプル 第1問

曲線 y=exy = e^{-x} と 曲線 y=excosxy = e^{-x} \left| \cos x \right| で囲まれた図形のうち (n1)πxnπ(n-1)\pi \leq x \leq n \pi を満たす部分の面積を ana_n とする。limn(a1+a2++an)\lim_{n \to \infty} (a_1 + a_2 + \cdots +a_n) の値を求めよ。

サンプル 第2問

P\mathrm{P} が円: x2+y24x+2=0x^2+y^2-4x+2 = 0 上を動くとき, 点 O(0,0)\mathrm{O} (0, 0) と点 A(0,2)\mathrm{A} (0, \sqrt 2) に対して cosAPO\cos \angle \mathrm{APO} の最大値を MM, 最小値を mm とする。MmM-m の値を求めよ。

サンプル 第3問

正の整数 a,b (a>b)a, b \ (a > b) が存在し, x,yx, y に関する二次方程式x2+ax+b=0y2+by+a=0x^2 + ax + b = 0 \\y^2 + by + a = 0がそれぞれ整数解を持つ。このような整数の組 (a,b)(a, b) は全部でいくつあるか求めよ。

サンプル 第4問

三次元座標空間上の点 A(0,0,0)A(0,0,0), B(3,0,0)B(3,0,0),C(3,3,0)C(3,3,0),D(0,3,0)D(0,3,0) を考える。半径 rr の球の中心 PP が, 線分 AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA を順に動くとき,球が通過する空間部分の体積を求めよ。ただし球の通過範囲には,球の内部も含める。

サンプル 第5問

y=12x2y = \dfrac{1}{2}x^2 上の二点 A(α,12α2),B(β,12β2)A\left(\alpha, \dfrac{1}{2}\alpha^2\right),B\left(\beta, \dfrac{1}{2}\beta^2\right) を接点とする2本の接線の交点を CC とする。α,β\alpha, \beta がそれぞれ {2α11β2\begin{cases} -2 \leq \alpha \leq -1\\ 1 \leq \beta \leq 2 \end{cases} を動くとき,CC の動きうる領域の面積を求めよ。

サンプル 第6問

a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f は実数とする。実数 x,yx,y に関する連立方程式{ax+by=cdx+ey=f\begin{cases}ax + by = c\\dx + ey = f\end{cases}が解を持つための必要十分条件を a,b,d,ea,b,d,e を使って表せ。

サンプル 第1問

曲線 y=exy = e^{-x} と 曲線 y=excosxy = e^{-x} \left| \cos x \right| で囲まれた図形のうち (n1)πxnπ(n-1)\pi \leq x \leq n \pi を満たす部分の面積を ana_n とする。limn(a1+a2++an)\lim_{n \to \infty} (a_1 + a_2 + \cdots +a_n) の値を求めよ。

サンプル 第2問

P\mathrm{P} が円: x2+y24x+2=0x^2+y^2-4x+2 = 0 上を動くとき, 点 O(0,0)\mathrm{O} (0, 0) と点 A(0,2)\mathrm{A} (0, \sqrt 2) に対して cosAPO\cos \angle \mathrm{APO} の最大値を MM, 最小値を mm とする。MmM-m の値を求めよ。

サンプル 第3問

正の整数 a,b (a>b)a, b \ (a > b) が存在し, x,yx, y に関する二次方程式x2+ax+b=0y2+by+a=0x^2 + ax + b = 0 \\y^2 + by + a = 0がそれぞれ整数解を持つ。このような整数の組 (a,b)(a, b) は全部でいくつあるか求めよ。

サンプル 第4問

三次元座標空間上の点 A(0,0,0)A(0,0,0), B(3,0,0)B(3,0,0),C(3,3,0)C(3,3,0),D(0,3,0)D(0,3,0) を考える。半径 rr の球の中心 PP が, 線分 AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA を順に動くとき,球が通過する空間部分の体積を求めよ。ただし球の通過範囲には,球の内部も含める。

サンプル 第5問

y=12x2y = \dfrac{1}{2}x^2 上の二点 A(α,12α2),B(β,12β2)A\left(\alpha, \dfrac{1}{2}\alpha^2\right),B\left(\beta, \dfrac{1}{2}\beta^2\right) を接点とする2本の接線の交点を CC とする。α,β\alpha, \beta がそれぞれ {2α11β2\begin{cases} -2 \leq \alpha \leq -1\\ 1 \leq \beta \leq 2 \end{cases} を動くとき,CC の動きうる領域の面積を求めよ。

サンプル 第6問

a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f は実数とする。実数 x,yx,y に関する連立方程式{ax+by=cdx+ey=f\begin{cases}ax + by = c\\dx + ey = f\end{cases}が解を持つための必要十分条件を a,b,d,ea,b,d,e を使って表せ。

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