入試数学コンテスト

曲線 $y = e^{-x}$ と 曲線 $y = e^{-x} \left| \cos x \right|$ で囲まれた図形のうち $(n-1)\pi \leq x \leq n \pi$ を満たす部分の面積を $a_n$ とする。$$\lim_{n \to \infty} (a_1 + a_2 + \cdots +a_n)$$ の値を求めよ。

正の整数 $a, b \ (a > b)$ が存在し, $x, y$ に関する二次方程式$$x^2 + ax + b = 0 \\y^2 + by + a = 0$$がそれぞれ整数解を持つ。このような整数の組 $(a, b)$ は全部でいくつあるか求めよ。

$y = \dfrac{1}{2}x^2$ 上の二点 $A\left(\alpha, \dfrac{1}{2}\alpha^2\right),B\left(\beta, \dfrac{1}{2}\beta^2\right)$ を接点とする2本の接線の交点を $C$ とする。$\alpha, \beta$ がそれぞれ $$\begin{cases} -2 \leq \alpha \leq -1\\ 1 \leq \beta \leq 2 \end{cases}$$ を動くとき，$C$ の動きうる領域の面積を求めよ。

曲線 $y = e^{-x}$ と 曲線 $y = e^{-x} \left| \cos x \right|$ で囲まれた図形のうち $(n-1)\pi \leq x \leq n \pi$ を満たす部分の面積を $a_n$ とする。$$\lim_{n \to \infty} (a_1 + a_2 + \cdots +a_n)$$ の値を求めよ。

正の整数 $a, b \ (a > b)$ が存在し, $x, y$ に関する二次方程式$$x^2 + ax + b = 0 \\y^2 + by + a = 0$$がそれぞれ整数解を持つ。このような整数の組 $(a, b)$ は全部でいくつあるか求めよ。

$y = \dfrac{1}{2}x^2$ 上の二点 $A\left(\alpha, \dfrac{1}{2}\alpha^2\right),B\left(\beta, \dfrac{1}{2}\beta^2\right)$ を接点とする2本の接線の交点を $C$ とする。$\alpha, \beta$ がそれぞれ $$\begin{cases} -2 \leq \alpha \leq -1\\ 1 \leq \beta \leq 2 \end{cases}$$ を動くとき，$C$ の動きうる領域の面積を求めよ。