フーリエ変換の定義を

$$F(\xi) = \int_{- \infty}^{\infty} f(x) e^{-2 \pi i x \xi} \, dx$$

だったり

$$F(\omega) = \int_{- \infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x} \, dx$$

や

$$F(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x} \, dx$$

$$F(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-i \omega x} \, dx$$

などとしますが、どの定義を使って値を求めてもそれぞれ結果が違うような気がします。どれを使えばよいですか?