フェルマーの最終定理の意図は、ピタゴラスの定理の拡張ではないか?
もし、そうならば、二項定理による、ピタゴラスの定理の拡張をすると、3次からは、追加項が発生し、n次では、n-2個の追加項が発生し、それぞれの追加項の係数は二項定理にて求まるので、フェルマーの最終定理と違い、自然数解が無数あり、真の意味のピタゴラスの定理の拡張となる。
幾何的には、2次のピタゴラスの定理を直角三角形の定理ではなく、正方形の増加を表す方程式とみなし、3次のものは、立方体の増加を表し、n 次では、n 次元の正直方体の増加を表す方程式となる。
具体的には
x .y .z .p .Lを自然数とし
xのパラメータa .b .c .も自然数とし
n>2 p=z-y とすると
①x^n+y^n+(n-2)個の追加項=z^n
②x=(n÷a)(p÷b÷c)L+pまたは、nが合成数の場合は±p パラメータa.b .c .には独自の法則があるが、省略する。
③y=(x^n-p^n)÷{n×p^(n-1)}
例として、n=3. p=1の場合
パラメータaはnが素数なので、a=1
パラメータb.c.はp=1なので、b=1 c=1
②より、x=(3÷1)(1÷1÷1)L+1
x=3L+1 Lは自然数なので
x=4. 7. 10. ......の数列を作り
③より、y=(x^n-1^3)÷(3×1^2)
これに、xを代入すると
y=21. .114...333......の数列を作り
z=y+pなので、yとpを代入すると
z=22 ..115 ..334 ........ の数列を作る
追加項の係数は、二項定理にて3、係数関係するp=1なので、
追加項は、1個発生し、3×p^1×y^2
pとyを代入し、①の方程式に、x .y. zも代入すると、
①より、4^3+21^3+3×1^1×21^2=22^3
7^3+114^3+3×1^1×114^2=115^3
10^3+333^3+3×1^1×333^3=334^3
.........と無数の自然数解が現れ
3次なので、立方体の増加を表す方程式となる。
長い例では、n=9. p=1 x=10とすると
10^9+111111111^9
+9×1^1×111111111^8
+36×1^2×11111111^7
+84×1^3×111111111^6
+126×1^4×111111111^5
+126×1^5×111111111^4
+84×1^6×111111111^3
+36×1^7×111111111^2
=111111112^9
となり、追加項は、7個発生する。
フェルマーの最終定理は、もしかしたら、このような、ピタゴラスの定理の拡張を目的としたものかもしれません。
+84×1^6×111111111^3
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