解決済み

この式を見たことがあるという方はいらっしゃいますか。(偶然見つけた式です)

n!=k=1n(1)nknCkknn!=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n-k} {_n}C_k k^n

学校や塾の先生にこの式のことを尋ねたところ、「見たことある気がするけど思い出せない」と仰っていたのが気になっています。

自分でできる限り調べてみましたが、すでに知られているものなのかどうか分かりませんでした。

ご存知の方がいれば、どこで見たのかなどを教えていただけると幸いです。

※証明はできています。

ベストアンサー

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いわゆる”クーポンコレクター問題”に顔を出す式です。

n,mともに自然数とします。n種類の景品があり、くじを1回引く度にどれか一つが入手出来るとします。このときくじをm回引いて全n種類そろっている場合の数をAn(m)と表すと、


An(m)=Σk=1n(1)nknCkkm  (最後の指数だけm)An(m)=Σ_{k=1}^{n}(-1)^{n-k}{}_n{C}_kk^{m}  (最後の指数だけm)


この式にm=nを代入すると


An(n)=n! 、つまりお問い合わせの公式となります。


ちなみにm<nとしても、ちゃんとAn(m)=0 [意味を考えると当然ですが]となります。良く出来てますよね!


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質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

ありがとうございます!ずっともやもやしてたのでスッキリしました。

クーポンコレクター問題というのは初めて聞きました。奥の深そうな問題ですね。

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