幾何不等式

    更新日時 2021/03/11

    Weitzenböckの不等式

    Weitzenböckの不等式:

    三角形 ABCABC の三辺の長さを a,b,ca, b, c ,面積を SS とおくとき以下の不等式が成立する:

    a2+b2+c243Sa^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S

    → Weitzenböckの不等式

    トレミーの不等式の証明と例題

    トレミーの不等式:

    四角形 ABCDABCD において,

    AB×CD+AD×BCAC×BDAB\times CD+AD\times BC\geq AC\times BD

    等号成立条件は,四角形 ABCDABCD が円に内接する四角形であること。

    → トレミーの不等式の証明と例題

    エルデス・モーデルの定理の証明

    エルデスモーデルの定理

    エルデスモーデルの定理:

    任意の三角形 ABCABC において,その内部の任意の点 OO から各辺に下ろした垂線の足を P,Q,RP, Q, R とおくとき,以下の不等式が成立する:

    OA+OB+OC2(OP+OQ+OR)OA+OB+OC\geq 2(OP+OQ+OR)

    → エルデス・モーデルの定理の証明

    Hadwigerの不等式

    有名な幾何不等式を2つ紹介します。Hadwiger-Finslerの不等式は数学オリンピックの練習問題にちょうどいい難易度なので,やる気のある人は証明を見る前に考えてみてください!

    → Hadwigerの不等式

    ライプニッツの不等式の3通りの証明

    ライプニッツ(Leibniz)の不等式:

    三角形 ABCABC の三辺の長さを a,b,ca,b,c ,外接円の半径を RR とおくと,

    a2+b2+c29R2a^2+b^2+c^2\leq 9R^2

    → ライプニッツの不等式の3通りの証明

    Klamkinの不等式

    Klamkinの不等式:任意の実数 x,y,zx,\:y,\:z と非負整数 nn ,三角形の内角 A,B,CA,\:B,\:C に対して以下の不等式が成立する:

    x2+y2+z22(1)n+1(yzcosnA+zxcosnB+xycosnC)x^2+y^2+z^2\geq 2(-1)^{n+1}(yz\cos nA+zx\cos nB+xy\cos nC)

    等号成立条件は,sinnA,sinnB,sinnC\sin nA,\:\sin nB,\:\sin nC がいずれも 00 でないもとで, xsinnA=ysinnB=zsinnC\dfrac{x}{\sin nA}=\dfrac{y}{\sin nB}=\dfrac{z}{\sin nC}

    証明が簡単な割に重要な結果を含んでいる素晴らしい不等式です。

    → Klamkinの不等式

      人気記事